Chapter 2
微分方程式としての運動方程式
さて、高校ではこれで終わりでこの運動方程式を直接計算することは少ないかと思います。それにはこの書き方に問題があ
るのです。質量はこれでいいとして、まず力 F は当然方向を持った量、そうベクトルなのでとしてお
かなければなりません。ここで
という太字はその量がベクトルである、という意味です。 またそもそ
も加速度とは速度の微分、そして速度は物体の位置
の微分でしたね。よってニュートンの運動方程式
は
![]() | (2.1) |
と書き改められます。さて、これの何が変わったんだといわれると、一番は力と物体の位置
の方程式になっていま
す。つまり力が分かれば物体の位置がわかるわけです。ただし問題は物体の位置
が二回微分になっていることです。こ
のような微分のある式を微分方程式と呼びます。この微分方程式を具体的にどう解くのかひとつ例を出しま
す。
2.1 地上付近での重力下の運動
地上付近での重力は一様で鉛直下方向にです。 m は質量、 g は重力定数です。さて、鉛直上方向を y 軸の向きとする
と運動方程式は








という放物線軌道が得られます。
2.2 単振動
こんな調子でばねによる単振動を今度は解いてみましょう。ばねの力はばね係数 k とばねの自然長からの変位 x の積
で表されますので運動方程式は

となります。さてこれを解くのにまた積分しようかといきたいところですが求めるべきが右辺にも入っていてなんだ
かにっちもさっちもいきません。じゃあ、どうしようかいうと当てずっぽうで
の形を予測していきます。実は微
分方程式を解く方法で最も有力な方法が当てずっぽうです。なんて頼りないんだと感じるでしょうが事実
なので仕方ありません。二次方程式のように絶対的な公式なんかはありません。それゆえ、微分方程式は
解けない(解けていない)もののほうが多いんです。解ける微分方程式は特殊なものいってもいいでしょ
う。
さて、今回の場合の二回微分が
になるようなもの。それは実は三角関数
です。ためしに
突っ込んでみましょう。






