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Chapter 1
最速降下曲線

「最小作用の原理」を語る上で歴史的経緯として、また格好の例題をして最速降下曲線の問題が挙げられます。さて、最速 降下曲線とは適当な二点(高さに差がある)を、ボールが最も早く転がり抜けるように引いた曲線のことです。この 問題はベルヌーイが懸賞問題として発表し、そしてそれを一日でニュートンは解いてしまったといわれま す。


PIC

Figure 1.1: 最速降下線


この問題を解く方法は割りとシンプルです。まず、今適当な曲線をとりあえず考えます。どんなものでもよく「とりあ えず」考えます。そしてこの曲線にそってボールが転がるときにかかる時間を求めます。これはわりと簡単です。まず、 x まで落ちたときの速度はエネルギー保存より

1   2
2mv  - mgx   =  0                                  (1.1)
          v  =  ∘2gx--
と求まります。 x まで落ちたときの曲線の長さ s は
   ∫ x  ∘ ----(-2-)2-
s =   dx  1 +  d-y2
    0          dx

とかけるのでかかる時間は

    ∫ X   ∘ ---(----)2-----
T =     dx  1+   d2y-  ∕2gx
     0           dx2
(1.2)

と書けます。ここから最速降下曲線を見つけるにはつまり、このTが最小になるようなy(x )  を見つけてやればいいわけで す。ここで今のちのちのためより一般的な場合を考えて見ましょう。

1.1 オイラー・ラグランジュ方程式

さて今

    ∫
S =   dtL(t,r, ˙r)

というSを最小にするr(t)  を求めたいとします。    dr
r˙= dt  L (t,r,r ˙)  t,r, ˙r  の任意の関数です。今Sだとか L だとか x が t に変わっているのだとかはのちのちのちわかるので今は深く気にしないでください。さてSを最小にするような r, ˙r  があったとします。そのときそれぞれちょっとずつずらしてr+ δr,r ˙+ δ˙r  としたときのSをδS  とする と、

     ∫   ∂L     ∂L
δS =   dt∂r-δr + ∂r˙δr˙
(1.3)

とかけますが、さて今Sを最小にするようなr,r˙  付近ではδS = 0  となります。それは微分で極値を求めると きに微分したものが0となる点を探すのと同じで、Sを最小にするようなr, ˙r  付近ではSの値はくぼ地 にはまっている状態でほかの場所と違い少々ずれても変わらないわけです。つまり求めるr,r ˙  の方程式 は

∫   ∂L-    ∂L-
  dt∂rδr + ∂˙rδr˙= 0

となります。さて今積分の始点終点ではr, ˙r = 0  として上の式をδ˙r = ∂∂δrt-  を使って部分積分で整理する と

           ∫
             dt∂L-δr+ ∂L-δ˙r =   0
[    ]   ∫     ∂r     ∂r˙
 ∂L-δr  +   dt∂L-δr - d-∂L-δr =   0
 ∂r˙       ( ∂r     dt∂r)˙
       ∫     ∂L-  -d∂L-
         dt  ∂r - dt ∂˙r  δr =   0
ここで今δr  は好きに動かせる微少量なので右辺が0になるためには () の中が0でないといけないので
∂L-- d-∂L-= 0
∂r   dt∂r˙
(1.4)

この式を「オイラー・ラグランジュ方程式」といいます。

1.2 サイクロイド曲線

さて、最速降下曲線の話にもどりましょう。さきほどのオイラー・ラグランジュ方程式1.4S → T,t → x,r → y  と置き 直し式1.2の積分の中身

    ∘ ---(----)2-----
L =   1+   d2y  ∕2gx
           dx2

を代入し、整理すると

 ∂L    d ∂L
 ----  -----  =  0
  ∂y   dx∂y˙
       d-∂L-  =  0
       dx∂y˙
         ∂L-  =  C
         ∂y˙
-----y˙-----
∘2gx-(1+-˙y2)  =  C
          2
         y˙2  =  2gx(1+ ˙y2)
         C
          12  =  --1-2-- 1
          ˙y      2gC  x
ここで
 1    1   dx
y˙2 = dy-= dy-
     dx

なのと、C2 = -1-
     4ga  という a を使うと方程式は

( dx)2   2a
  dy-  = -x - 1
(1.5)

という形にかけます。実はこの方程式の解はサイクロイド曲線になっています。方程式から直接求めるのは難しいのでサイ クロイドの式

y  =   a(θ - sinθ)                                 (1.6)

x  =   a(1 - cos θ)                                 (1.7)
を代入して解になっていることを確認するので勘弁してください。

PIC

Figure 1.2: サイクロイド曲線


まず

dx   dx  dθ   dx  (dy) -1
---= ---⋅-- = ---⋅ --
dy   dθ  dy   dθ   dθ

なので式1.5の右辺は

(dx )2     { dx  (dy) -1}2
 dy-    =    dθ-⋅ dθ

           ---a2sin-θ2---
        =  a2(1- cosθ)2
            1 - cosθ2
        =  (1-- cosθ)2

        =  (1-- cosθ)(1+-cosθ)
               (1- cosθ)2
        =  1-+-cos-θ
           1 - cos θ
そして式1.5の左辺は
2a             2
--- 1  =   -------- 1
x          1- cosθ
       =   1+-cosθ-
           1- cosθ
となり、サイクロイドが最速降下曲線であるとわかりました。