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Chapter 1
微分

1.1 微分の定義

微分とは接線の傾きと解釈できるもので、感覚的には

f(x) = Δy(x)-
        Δx

です。


PIC

Figure 1.1: 微分の概念


厳密には、極限(h を0に限りなく近づける)を使って

          y(x + h)- y(x)
f(x) = lhim→0------h------
(1.1)

微分の記号はdy
dx  ˙y   ′
y という風に書きます。

1.1.1 例 累乗の微分

y = xn(n = 1,2,3⋅⋅⋅)  を微分すると

               n   n        n      n-1       2 n-2      n
dy-= lim  (x-+-h)---x--= lim  (x--+-nhx----+nC2h--x---...)-- x-= nxn- 1
dx   h→0      h        h→0               h
(1.2)

となる

1.2 微分の公式

1.2.1 積の公式

二つの関数の積の微分は以下のようになる

         ′        1-
(f(x)g(x))  =  lim  h (f(x+ h)g(x+ h)- f(x)g(x))                              (1.3)
                  1-
           =  lim  h (f(x+ h)g(x+ h)- f(x)g(x)- f(x)g(x + h)+ f(x)g(x + h))
                  1-
           =  lim  h [(f (x + h)- f(x))g(x +h )+ f(x)(g(x+ h)- g(x))]
           =  f′(x)g(x) +f (x)g′(x)

1.2.2 合成関数

関数の中に関数が入れ子になっているような合成関数の微分は以下のようになる

        ′        1-
(f (g(x))) =   lim h(f (g(x+ h))- f (g(x)))                          (1.4)
                 f (g(x+-h))--f-(g(x)) g(x-+-h)--g(x-)
          =   lim    g(x+ h)- g(x)   ⋅      h
          =   g′(x)f′(g(x))

この二つの公式は大変よく使う。

1.3 三角関数と微分

三角関数の幾何学的な定義は、半径1の円の弧θ  のときの縦の長さがsin θ  、横の長さがcosθ  。角度はラジアンを使っ ています(180° = π、 360° =2 π)


PIC

Figure 1.2: 三角関数


1.3.1 加法定理

角度の和をとった三角関数には以下のような公式がある。二つの角の和が0からπ /2 までのときは図1.3を参照してくださ い。(それ以降の角のときの証明は省略します)


PIC

Figure 1.3: 加法定理


cos(θ+ ϕ) = OA - BD = cosθcosϕ - sinθ sinϕ                       (1.5)

sin(θ+ ϕ) = AB + CD = sinθcosϕ + cosθ sinϕ                       (1.6)

1.3.2 角度が小さいときの近似

ε → 0  で接線の傾きは横軸に直角なことから


PIC

Figure 1.4: 角度が小さいときの近似


sin ε ~= ε                                      (1.7)
    ~
cos ε= 1                                       (1.8)
と近似できる。

1.3.3 三角関数の微分

微分は加法定理と角度が小さいときの近似を使えば

dsinθ  =   lim sin(θ+-h)--sin-θ                               (1.9)
  dθ       h→0        h
       =   lim sinθcosh-+cosθ-sinh---sinθ-                    (1.10)
           h→0             h
       =   lim sinθ⋅1-+-cosθ-⋅h--sin-θ                        (1.11)
           h→0           h
       =   cosθ                                             (1.12)

dcosθ-        cos(θ+-h)--cosθ
  dθ   =   lih→m0        h                                     (1.13)
              cosθcosh - sinθ sinh - cosθ
       =   lih→m0 ------------h------------                    (1.14)
              cosθ ⋅1 - sinθ ⋅h- cosθ
       =   lih→m0 ----------h----------                        (1.15)
       =   - sinθ                                          (1.16)
と計算できる。 sin の微分は cos、 cos の微分は sin に対応する(負号が付きますが)という特殊な関係が物理で有用で す。

1.4 指数関数の微分とネイピア数

y = ax  という指数関数を微分しようとした場合

d(ax)      ax+h --ax      ax(ah---1)
 dx  = lhi→m0     h    = lhim→0     h

となりこれ以上計算できないがh → 0

eh - 1 ~= h

となるような数のとき

d(ex)      ex(eh - 1)
--dx--= hli→m0 ----h----= ex

で計算できる

h → 0

eh = 1 + h                                    (1.17)
e = lim (1 + h)1h                                (1.18)
   h→0
e = nl→im∞(1 +1∕n)n                             (1.19)
のような数 e を「ネイピア数」、また「自然対数の底」という

このような e という数がちゃんと有限の値になるのか疑問なので

                  1      ( 1)           ∑n     (1 )k
(1 +1∕n )n = 1+ n ⋅--+ nC2  -- + ⋅⋅⋅ = 2+   nCk  --
                  n        n            k=2     n

と展開してみるとわかるが eソ2 がわかる。さらに

n∑     ( 1)k      ∑n     n!    1
   nCk  --    =     ----------k-                           (1.20)
n=2      n        n=2(n - k)!k!n
                 ∑n  1
              <     k!                                     (1.21)
                 k=2(         )
                 ∑n   -1---  1-       1-
              <       k- 1 - k  = 1-  n                    (1.22)
                 k=2
よって
2 < e < 3

と示せる。実際数値計算により

e = 2.71828⋅⋅⋅

となることが知られている。この e を使えば一般のa(a ∈ R)  に対しても

   x      log a⋅x
d(a-)=  d(e-----)= loga⋅elog a⋅x = loga ⋅ax
 dx        dx

と計算できる。

1.5 その他の関数

1.5.1 log x  の微分

   (   )′
   elog x = x ′                                  (1.23)
(logx)′elogx = 1
            1
   (log x)′ = x-

1.5.2 一般のa(a ∈ R )  の累乗の微分

  a ′    logx⋅a ′           ′ logx⋅a
(x ) = (e    )  =   (a logx) e                            (1.24)
                =   a1xa
                     xa- 1
                =   ax