4 惑星の運動

Chapter 4
惑星の運動

さて、今までに出した保存則をうまく使ってニュートン運動方程式の花形、惑星の運動を考えて見ましょう。今太陽は充分重いのでその位置は動かないで原点にあると仮定して考えていきます。 $M$ を太陽の質量、 $r$ を太陽からの距離、惑星の質量を $m$ とすると運動方程式は

d2r GmM r m dt2-= - -|r|2--|r|

(4.1)

となります。ここで今力は太陽の方向、つまり原点の向きにしか働かないので $xyz$ 座標で考えるより極座標で考えたほうが便利です。

さて、しかしここで問題なのが微分です。ニュートン運動方程式は基本的に $xyz$ 座標で考えられています。なので座標を変えたときは微分の部分が変化します。具体的に見てみましょう。極座標（２次元）と $xy$ 座標の関係は

x = rcosθ y = rsin θ

ですので一回微分は

dx dr dθ dt-= dt cosθ - rsin θdt dy dr dθ dt = dt sinθ +r cos θdt

二回微分は

d2x d2r dr dθ (dθ)2 d2θ dt2 = dt2 cosθ- 2-dt sin θdt - rcosθ dt - rsin θdt2 2 2 ( )2 2 d-y = d-rsin θ+ 2dr cos θdθ- rsinθ dθ + rcosθd-θ dt2 dt2 dt dt dt dt2

また

r er = |r| = (cosθ,sinθ) (4.2) eθ = (- sinθ,cosθ) (4.3)

でこれから

( d2r) (d2x d2y ) dt2 = dt2 ,-dt2 ⋅er (4.4) r ( )2 = d2r- r dθ (4.5) dt2 dt

右辺第二項はいわゆる遠心力の項です。あと $θ$ 方向は

( 2 ) ( 2 2 ) d-r = d-x, d-y ⋅eθ (4.6) dt2 θ dt2 dt2 drdθ d2θ = 2dtdt + rdt2 (4.7) 1 d( 2dθ) = rdt r dt (4.8)

となります。このように座標を変えるとちょっと見にくい形になり、面倒なのがニュートン運動方程式の欠点です。さてこれから

( ) d2r ( dθ)2 GmM m dt2 - r dt = - --r2-- (4.9) ( ) m 1 d- r2dθ = 0 (4.10) r dt dt

まず、二つ目の式を見ていきましょう。整理すると

( ) d- r2dθ = 0 dt dt

ですが $2dθ dθ r dt = r ⋅rdt$ は r かける $θ$ 方向の速度、つまり角運動量（から質量を割ったもの）になっています。今これが時間によらず一定なのでその値を $l$ と置くと

dθ l -- = -2 dt r

(4.11)

となります。

さて、もうひとつの式

d2r (dθ)2 GM --2 - r -- = - --2- dt dt r

ですが、今この式から惑星の楕円運動が出てくればうれしいわけなので時間ごと r の値より実は $θ$ ごとの r の値のほうがやりやすいわけです。なのでまず、時間微分を $θ$ 微分に書き換えをします。

dr = dr dθ (4.12) dt dθ dt = dr l- (4.13) dθ r2 -d 1 = - ldθ r (4.14) du- = - ldθ (4.15)

2 d-r = dθ-ddr (4.16) dt2 dtdθ dt = l-d-- ldu- (4.17) r2dθ dθ = - l2u2 d2u- (4.18) dθ2

よって

- l2u2d2u - u3l2 = - GM u2 dθ2

(4.19)

d2u + u = L dθ2

(4.20)

u = A cos(θ+ α )+ L

(4.21)

----a---- r = 1+ ϵcosθ (4.22)

となります。さて、これが本当に楕円軌道になっているか見てみましょう。

まず、 $ϵ = 0$ のとき r は $θ$ に依存しないわけですからどの $θ$ でも r 一定、つまりこれは円軌道になります。では $ϵ ⁄= 0$ のとき、

x = rcosθ y = rsin θ

に r を代入して

----a---- x = 1+ ϵcosθ cosθ y = ----a----sin θ 1 +ϵ cosθ

$cosθ,sinθ$ について解き直し

x cosθ = a--ϵx- y sinθ = a--ϵx-

それぞれ二乗してたすと

2 2 ---x---- + ---y----= 1 (a - ϵx)2 (a- ϵx)2 (1--ϵ2)2-( -aϵ--)2 1--ϵ2 2 a2 x+ 1- ϵ2 + a2 y = 1

これから $0 < ϵ < 1$ （ $ϵ > 1$ ）のときは楕円（双曲線）の式

x2 y2 a2 + (- )b2 = 1

を満たしていることがわかります。このようにニュートンは惑星の運動さえも証明し物理の夜明けを華々しく飾ったのです。

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